§3.4 مكوّنات تباين التأثيرات العشوائية

§ 3.4.1

ما هو مكوّن التباين؟

لكل تأثير ν_α في النموذج الخطي مكوّن تباين خاص به — هو ببساطة القيمة المتوقعة لمربع ذلك التأثير

المعادلة الأساسية 3.19

σ²(α) = σ²(ν_α) = E [ν_α]²

بعبارة بسيطة: مكوّن التباين = متوسط مربع التأثير على جميع شروط الوجه في الكون

أثر رئيسي
غير متداخل

σ²(p) = σ²(ν_p) = σ²(μ_p)

التباينان متساويان — مكوّن التباين يساوي تباين المتوسطات لأن μ ثابت

= E(μ_p − μ)²

أثر تفاعل

σ²(ph) = σ²(ν_ph)

التباينان مختلفان — σ²(μ_ph) ≠ σ²(ν_ph) لأن ν_ph يُزيل آثار p و h

= E(μ_ph − μ_p − μ_h + μ)²

أثر رئيسي
متداخل

σ²(i:h) = σ²(ν_i:h)

التفسير يعتمد على الكون: إذا كان i×h → تباين (μ_ih − μ_h)². إذا i:h → متوسط التباين داخل h

= E_h[E_i(μ_i:h − μ_h)²]

💡

القاعدة العامة بكلمات بسيطة

σ²(α) يقيس: "بقدر ماذا تتفاوت قيم التأثير ν_α عبر جميع شروط الوجه α في الكون؟" — كبر σ²(α) يعني اختلافاً أكبر وتأثيراً أوسع لذلك الوجه على الدرجات.

المعادلة 3.22

التباين الكلي = مجموع المكوّنات

ميزة رائعة: التباين الكلي للدرجة الملحوظة يُساوي مجموع جميع مكوّنات التباين — كل مكوّن يُسهم بشكل فريد ومنفصل

القانون الأساسي

σ²(X_ω) = Σ_α σ²(α)

أي تصميم كان — تصميم p×(i:h) مثلاً:

σ²(X) = σ²(p)+σ²(h)+σ²(i:h)+σ²(ph)+σ²(pi:h)

✅

كل مكوّن يُفسِّر جزءاً مستقلاً وفريداً من التباين الكلي — لا تداخل بين المكوّنات

لماذا هذا مفيد؟

①يُحدِّد المصادر الأكثر أهمية في التباين

②يُوجِّه قرارات تصميم دراسة D (كم فقرة؟ كم مقيِّم؟)

③يُعبِّر عن تأثير الشروط المفردة لا المتوسطات

④يُشكِّل الأساس لحساب Eρ² وΦ في دراسة D

📊 التحليل الكلي — تصميم p × i × o (البيانات الاصطناعية رقم 3)

المجموع الكلي التقريبي لمكوّنات التباين (المقدَّرة)

σ²(p)

.553

قدرة الأشخاص

σ²(i)

.442

صعوبة الفقرات

σ²(o)

.007

اختلاف المناسبات

σ²(pi)

.575

تفاعل شخص×فقرة

σ²(po)

.101

تفاعل شخص×مناسبة

σ²(io)

.157

تفاعل فقرة×مناسبة

σ²(pio)

.935

تفاعل ثلاثي + خطأ

🔍

القراءة: σ²(pio)=.935 هو الأكبر!

التفاعل الثلاثي يُسيطر على التباين — ما يعني أن تفسير الأشخاص للفقرات يتغير من مناسبة لأخرى. وهذا تحدٍّ كبير للاعتمادية يجب أخذه بعين الاعتبار في دراسة D.

§ 3.4.2

متوسطات المربعات المتوقعة — قاعدة π(α̂)

كيف نربط MS(β) الملحوظ بمكوّنات σ²(α) النظرية؟ — قاعدة بسيطة تُحدِّد ماذا يتضمن كل EMS

المعادلة 3.24 — القاعدة العامة

EMS(β) = Σ π(α̂) · σ²(α)

شرح القاعدة بكلمات:

✦ المجموع يشمل جميع المكوّنات α التي تحتوي على الأقل كل أدلة β
✦ π(α̂) = حاصل ضرب أحجام العينات للأدلة الموجودة في α لكن ليست في β

💡

مخططات فن تُوضِّح EMS بصرياً

EMS(β) = مجموع مكوّنات التباين لكل المناطق التي تحتوي على دائرة β. π(α̂) هو حجم العينة للأدلة خارج β داخل α.

المكوّن β	EMS(β) بدلالة مكوّنات التباين	π(α̂) للمكوّنات المختلفة
p	σ²(pih) + n_i·σ²(ph) + n_h·σ²(pi) + n_i·n_h·σ²(p)	p→1, ph→nᵢ, pi→nₕ, p→nᵢnₕ
i	σ²(pih) + n_p·σ²(ih) + n_h·σ²(pi) + n_p·n_h·σ²(i)
h	σ²(pih) + n_i·σ²(ph) + n_p·σ²(ih) + n_p·n_i·σ²(h)
pi	σ²(pih) + n_h·σ²(pi)
ph	σ²(pih) + n_i·σ²(ph)
ih	σ²(pih) + n_p·σ²(ih)
pih	σ²(pih)	يُقدَّر مباشرةً من MS!

🔑

النمط الواضح: آخر أثر (الأعلى تفاعلاً) = MS مباشرةً

EMS(pih) = σ²(pih) فقط — لذا σ̂²(pih) = MS(pih). كلما تقدمنا نحو آثار أدنى رتبة كلما تضمّن EMS مكوّنات أكثر وأكبر π.

المكوّن β	EMS(β) بدلالة مكوّنات التباين
p	σ²(pr:t) + n_r·σ²(pt) + n_r·n_t·σ²(p)
t	σ²(pr:t) + n_r·σ²(pt) + n_p·σ²(r:t) + n_p·n_r·σ²(t)
r:t	σ²(pr:t) + n_p·σ²(r:t)
pt	σ²(pr:t) + n_r·σ²(pt)
pr:t	σ²(pr:t)

📌

في التصميم المتداخل: نفس المنطق — آخر أثر يُقدَّر مباشرةً

EMS(pr:t) = σ²(pr:t) وحده — لذا σ̂²(pr:t) = MS(pr:t) = 2.3802 مباشرةً من الجدول.

§ 3.4.4

الخوارزمية — تقدير σ̂²(α) مباشرةً من MS

بدلاً من حل نظام معادلات EMS — الخوارزمية تُقدِّر σ̂²(α) مباشرةً بجمع وطرح MS المناسبة

المعادلة 3.28 — الصيغة العامة

σ̂²(α) = [1 / π(α̂)] × [توليفة مناسبة من MS]

تحديد A — المجموعة المساعدة

A = مجموعة الأدلة الإضافية: أي دليل يمكن إضافته للأدلة الموجودة في α ليُشكِّل مكوّناً موجوداً في التصميم — بغض النظر عن التداخل.

π(α̂) — المقسوم عليه

π(α̂) = حاصل ضرب أحجام العينات لجميع الأدلة خارج α ولكن داخل ω (أي أدلة ليست في α لكن هي في التصميم).

الخوارزمية خطوةً بخطوة

0

ابدأ بـ + MS(α)

نبدأ دائماً بمتوسط مربع المكوّن نفسه. في هذه المرحلة نحدد أيضاً المجموعة A.

A = {الأدلة الإضافية التي يمكن إضافتها لـ α}

1

اطرح MS للمكوّنات التي تحتوي α + دليل واحد من A

اطرح متوسطات المربعات لكل مكوّن يتألف من أدلة α + دليل واحد بالضبط من A.

مثال σ̂²(p) في p×i×h: اطرح MS(pi) و MS(ph)

2

أضف MS للمكوّنات التي تحتوي α + دليلان من A

أضف متوسطات المربعات لكل مكوّن يتألف من أدلة α + دليلان بالضبط من A.

مثال σ̂²(p) في p×i×h: أضف MS(pih)

توقف

الإيقاف: عندما تُفضي خطوة إلى MS واحد فقط، أو عند الخطوة |A|

في التصاميم البسيطة نادراً تتجاوز الخوارزمية خطوتين. ثم نقسم على π(α̂).

σ̂²(pih) = MS(pih) / 1 = MS(pih) ← تنتهي فوراً!

📋 تطبيق الخوارزمية — تصميم p × i × h

σ̂²(p)

[MS(p) − MS(pi) − MS(ph) + MS(pih)] / nᵢnₕ

A={i,h}

σ̂²(pi)

[MS(pi) − MS(pih)] / nₕ

A={h}

σ̂²(pih)

MS(pih) / 1

مباشرةً! A=∅

§ 3.4.3 — مثال محلول

التقدير بإجراء EMS — تصميم p × (r:t)

ابدأ من أسفل نظام المعادلات وتدرّج للأعلى — طريقة الاستبدال التتابعي

نظام معادلات EMS — البيانات الاصطناعية رقم 4

// نظام المعادلات (من الأكبر للأصغر رتبة)
MS(p)   = 10.2963 = σ̂²(pr:t) + 4σ̂²(pt) + 12σ̂²(p)
MS(t)   = 24.1000 = σ̂²(pr:t) + 4σ̂²(pt) + 10σ̂²(r:t) + 40σ̂²(t)
MS(r:t) =  8.8556 = σ̂²(pr:t) + 10σ̂²(r:t)
MS(pt)  =  4.6185 = σ̂²(pr:t) + 4σ̂²(pt)
MS(pr:t)=  2.3802 = σ̂²(pr:t)

الخطوة 0 — آخر معادلة (الأبسط)

σ̂²(pr:t) = MS(pr:t) = 2.3802

الخطوة 1 — نُعوِّض في معادلة MS(pt)

4.6185 = 2.3802 + 4σ̂²(pt)

∴ σ̂²(pt) = (4.6185 − 2.3802) / 4 = 0.5596

الخطوة 2 — نُعوِّض في معادلة MS(r:t)

8.8556 = 2.3802 + 10σ̂²(r:t)

∴ σ̂²(r:t) = (8.8556 − 2.3802) / 10 = 0.6475

الخطوة 3 — نُعوِّض في معادلة MS(p)

10.2963 = 2.3802 + 4(0.5596) + 12σ̂²(p)

∴ σ̂²(p) = [10.2963 − 2.3802 − 2.2384] / 12 = 0.4731

المكوّن	σ̂²(α)	التفسير
p	.4731	قدرة الأشخاص عبر كون المهام والمقيمين
t	.3252	اختلاف صعوبة المهام — آثار منهجية
r:t	.6475	يختلط σ²(r)+σ²(rt) — اختلاف المقيمين + تفاعلهم مع المهام
pt	.5596	ترتيب الأشخاص يتغير بتغير المهمة!
pr:t	2.3802	الأكبر! اختلاف المقيمين في تقييم الأشخاص + خطأ

§ 3.4.5

كيف نُفسِّر مكوّنات التباين؟

الأرقام تحكي قصة — كيف نقرأ نتائج التصميمَين وماذا تقول عن إجراء القياس؟

📝

σ̂²(p) — درجة الكون

ما نريد قياسه

.5528 (تصميم p×i×o)

تُقدِّر تباين المتوسطات الحقيقية للأشخاص عبر الكون اللانهائي. ليست نفس تباين المتوسطات الملحوظة، لكن القيمة الكبيرة نسبياً تعكس وجود تباين حقيقي بين الأشخاص.

✅

كبر σ²(p) → الأشخاص متفاوتون → القياس ذو جدوى

📅

σ̂²(o) — المناسبات

تباين ضئيل جداً

.0074 (تصميم p×i×o)

القيمة الصغيرة جداً تعكس تشابه المتوسطات الملحوظة عبر المناسبتين (5.075 و5.475). المناسبة (وقت التطبيق) لا تؤثر كثيراً على الدرجات في هذا المجال.

👍

صغر σ²(o) → ثبات الدرجات عبر الأوقات → مطمئن!

⚠️

σ̂²(pi) — أهم تفاعل

يُغيِّر ترتيب الأشخاص

.5750 (تصميم p×i×o)

كبير مقارنةً بـ σ²(po) وσ²(io) — يدل على أن اختلاف استجابات الأشخاص على الفقرات (تفاعل شخص×فقرة) مهم جداً. هذا هو الخطأ النسبي الرئيسي الذي يُحدِّد Eρ².

⚠️

كبر σ²(pi) → الأشخاص لا يتفقون على صعوبة الفقرات → خطأ نسبي كبير

🔴

σ̂²(pr:t) — الأكبر!

تحدٍّ كبير للاعتمادية

2.3802 (تصميم p×(r:t))

أكبر مكوّن بفارق واضح — يُقدِّر σ²(pr)+σ²(prt). يعني أن المقيمين يختلفون في تقييم الأشخاص بشكل كبير، وهذا الاختلاف يتغير من مهمة لأخرى. تحدٍّ جوهري يستوجب زيادة عدد المقيمين.

🚨

كبر σ²(pr:t) → عدم اتفاق المقيمين على الأشخاص → زِد عدد المقيمين!

§ 3.4.6

التقديرات السالبة — ماذا نفعل؟

مكوّنات التباين الحقيقية دائماً ≥ 0 — لكن المقدَّرة قد تصبح سالبة بسبب تقلبات العيّنة

⚠️

متى تظهر التقديرات السالبة؟

عندما تكون أحجام العينات صغيرة + عدد آثار كبير في التصميم → تقلبات عيّنة تُحرِّك MS(β) بشكل يجعل الحساب ينتج قيمة سالبة رغم أن σ²(α) ≥ 0 دائماً

مثال — البيانات رقم 3 مُعالَجة كتصميم p × (i:o)

الأثر	df	MS	EMS (إجراء كرونباخ)	الخوارزمية
p	9	6.9111	.6965	.6965
o	1	3.2000	−.1073 → 0	−.1030 → 0
i:o	6	7.4917	.5981	.5981
po	9	1.3389	−.0428 → 0	−.0428 → 0
pi:o	54	1.5102	1.5102	1.5102

إجراء كرونباخ (EMS)

عند ظهور قيمة سالبة:
① تُستبدَل بالصفر
② يُعاد حساب مكوّنات أخرى تعتمد عليها

⚠️ هذا يُسبِّب تحيزاً في المكوّنات المرتبطة!

الخوارزمية المباشرة

عند ظهور قيمة سالبة:
① تُجعَل = صفر فقط
② المكوّنات الأخرى لا تتأثر

✅ أفضل من منظور عدم التحيز للمكوّنات الأخرى

💊

العلاج الجذري — وليس مجرد تسوية!

١. زِد أحجام العينات (حل رئيسي) | ٢. استخدم إجراءات بايزية (تضمن ≥ 0 دائماً لكن تحتاج افتراضات توزيع) | ٣. من الناحية العملية: الإجراءات الثلاثة تُعطي نتائج متقاربة جداً عند وجود عدة تقديرات سالبة

مقارنة شاملة

ثلاثة إجراءات للتقدير — أيها تختار؟

جميعها تُعطي نفس النتائج في غياب التقديرات السالبة — الفرق يظهر عندها فقط

الجانب	إجراء EMS (كرونباخ)	الخوارزمية المباشرة	الإجراء المصفوفي
الطريقة	حل نظام معادلات EMS بالاستبدال التتابعي	صيغة مباشرة من MS دون تحديد EMS	جبر المصفوفات (الملحق C)
السهولة	معقول للتصاميم البسيطة، مرهق للمعقدة	الأسهل والأسرع ✓	يحتاج برمجة أو برامج متخصصة
عند التقديرات السالبة	إجعل = 0 ثم أعِد الحساب ← تحيُّز في المكوّنات الأخرى!	إجعل = 0 فقط ← المكوّنات الأخرى لا تتأثر ✓	نتائج قد تختلف عن الاثنين أعلاه
جودة التقدير	BQUE (أفضل تربيعي غير متحيز) بلا تقديرات سالبة	BQUE بلا تقديرات سالبة	BQUE بلا تقديرات سالبة
التوصية	مفيد إذا كان هناك سبب نظري لأن σ²(α)=0 فعلياً	الموصى به عموماً	للتصاميم المعقدة والبرامج المتخصصة

🎯 ست مبادئ جوهرية من §3.4

σ²(α) = E[ν_α]² — تعريف بسيط

القيمة المتوقعة لمربع التأثير = التباين الحقيقي للأثر α عبر الكون

σ²(Xω) = Σ σ²(α) — التحليل الكامل

التباين الكلي يتوزع على المكوّنات كلٌّ منها مستقل وفريد

EMS(β) = Σ π(α̂)·σ²(α) — قاعدة π

تشمل جميع α التي تحتوي كل أدلة β — والمعامل هو حجم العينة لما خارج β

الخوارزمية: جمع وطرح MS

خطوة 0 (+MS) · خطوة 1 (−MS) · خطوة 2 (+MS)... ثم ÷ π(α̂)

التقديرات السالبة: ليست أخطاء!

نتيجة طبيعية لتقلبات العيّنة — الحل: أجعلها صفر وزِد حجم العيّنة

الخوارزمية أفضل من EMS عند السلبية

لأن EMS يُدخِل تحيزاً في المكوّنات الأخرى عند استبدال السالب بالصفر

ما حجم كل مصدرمن مصادر التباين؟