§3.3 حسابات ANOVA | الفصل الثالث

نظرة شاملة

خط الإنتاج — من البيانات إلى σ̂²

5 محطات متسلسلة — كل محطة تبني على السابقة حتى نصل إلى مكوّنات التباين المُقدَّرة

X̄_α

المتوسط المرصود

نظير X̄_α للمتوسط الكوني μ_α

→

T(α)

مجموعة مربعات

π(α̇) × Σ X̄²_α

→

SS(α)

مجموع المربعات

الخوارزمية على T(α)

→

MS(α)

متوسط المربعات

SS(α) ÷ df(α)

→

σ̂²(α)

مكوّن التباين

من معادلات EMS

🔑 الفكرة الذكية في هذا القسم

بدلاً من حساب SS(α) مباشرةً من تعريفه — وهو مرهق — نحسب أولاً كميات T(α) الأبسط، ثم نطبّق عليها نفس الخوارزمية التي تعلمناها في §3.2.3!

مقارنة سريعة:

            SS(α) ← يستخدم x²_α

            T(α) ← يستخدم X̄²_α (أسهل!)

§ 3.3.1

المتوسطات المرصودة X̄_α

كل متوسط كوني μ_α له نظير مرصود X̄_α — نحسبه بالمتوسط على المؤشرات غير الموجودة في α

المعادلة العامة 3.8

X̄_α = [1 / π(α̇)] × Σ_{α̇} X_ω

شرح الرموز:

α̇ المؤشرات في ω التي ليست في α

π(α̇) حاصل ضرب أحجام العينات لـ α̇

Σ_{α̇} المجموع على جميع مؤشرات α̇

💡

القاعدة البسيطة: X̄_α = متوسط X على كل ما ليس في α

حالة خاصة: π(α̇)

إذا α = ω (كل المؤشرات):
π(α̇) = 1 ← لأن α̇ فارغة

في العام:
π(α̇) = n_a₁ × n_a₂ × ...

📐 أمثلة — تصميم p × i × h

X̄

= [1/nₚnᵢnₕ] ΣₚΣᵢΣₕ X_pih

المتوسط العام — متوسط الكل

X̄_p

= [1/nᵢnₕ] ΣᵢΣₕ X_pih

α̇ = i,h → ÷ nᵢnₕ

X̄_i

= [1/nₚnₕ] ΣₚΣₕ X_pih

α̇ = p,h → ÷ nₚnₕ

X̄_pi

= [1/nₕ] Σₕ X_pih

α̇ = h → ÷ nₕ

تفكيك الدرجة المرصودة — تصميم p × i × h

        X_pih = X̄

        + (X̄_p − X̄)   ← x_p

        + (X̄_i − X̄)   ← x_i

        + (X̄_h − X̄)   ← x_h

        + (X̄_pi − X̄_p − X̄_i + X̄)   ← x_pi

        + (X̄_ph − X̄_p − X̄_h + X̄)   ← x_ph

        + (X̄_ih − X̄_i − X̄_h + X̄)   ← x_ih

        + (X_pih − X̄_pi − X̄_ph − X̄_ih + X̄_p + X̄_i + X̄_h − X̄)   ← x_pih

المفتاح الحسابي

مجموعة مربعات المتوسطات T(α)

T(α) هي أداة وسيطة نحسبها أولاً لأنها أسهل من SS مباشرةً — ثم نشتق SS بالخوارزمية

المعادلة 3.16

T(α) = π(α̇) × Σ_α X̄²_α

T(μ) — حالة خاصة

T(μ) = π(ω) × X̄²

π(ω) = nₚnᵢnₕ (حاصل ضرب الكل)

T(i) في p×i×h

T(i) = nₚnₕ × Σᵢ X̄²ᵢ

π(α̇) = nₚnₕ (كل ما ليس i)

T(pi) في p×i×h

T(pi) = nₕ × ΣₚΣᵢ X̄²_pi

π(α̇) = nₕ (فقط ما ليس p,i)

⚡ الاكتشاف الرائع — نطبّق الخوارزمية على T بدلاً من ν!

SS(α) = الخوارزمية § 3.2.3 مع استبدال: ν_α ← SS(α) | μ_α ← T(α) | μ ← T(μ)

أمثلة سريعة — تصميم p × i × h

SS(i)

=

T(i) − T(μ)

m=1، s=0

SS(pi)

=

T(pi) − T(p) − T(i) + T(μ)

m=2، s=0

SS(pih)

=

T(pih) − T(pi) − T(ph) − T(ih) + T(p) + T(i) + T(h) − T(μ)

m=3، s=0

SS(tot)

=

T(pih) − T(μ)

أبسط حساب!

📦 تصميم متداخل p × (r:t) — كيف تتغير الخوارزمية؟

في التصميم المتداخل نطبّق الخوارزمية على التأثيرات الرئيسية وآثار التفاعل بنفس الطريقة:

SS(r:t) = T(r:t) − T(t)

SS(pt) = T(pt) − T(p) − T(t) + T(μ)

SS(pr:t) = T(pr:t) − T(pt) − T(r:t) + T(t)

🔑

لماذا SS(pr:t) = T(pr:t) − T(pt) − T(r:t) + T(t)؟

المكوّن pr:t له مؤشران أوليان (p,r) ومؤشر تداخل (t). نطبق الخوارزمية:
• الخطوة 0: +T(pr:t)
• الخطوة 1 (−): −T(pt) −T(r:t)
• الخطوة 2 (+): +T(t)

قواعد بسيطة

درجات الحرية — قاعدتان فقط!

لا تعقيد — تأثيرات غير متداخلة لها قاعدة، والمتداخلة لها قاعدة أخرى

🔀

أثر غير متداخل

df(α) = Π_{k في α} (n_k − 1)

مثال — p × i × h:
df(p) = (nₚ−1)
df(pi) = (nₚ−1)(nᵢ−1)
df(pih) = (nₚ−1)(nᵢ−1)(nₕ−1)

حاصل ضرب (n−1) لجميع المؤشرات في الأثر

📦

أثر متداخل

df(α) = [Π (n_أولي − 1)] × [Π n_تداخل]

مثال — p × (r:t):
df(r:t) = (nᵣ−1) × nₜ
df(pr:t) = (nₚ−1)(nᵣ−1) × nₜ

مؤشرات أولية: (n−1) · مؤشرات التداخل: n (كاملاً)

📋 جدول درجات الحرية — المثالان المقارنان

تصميم p × i × o (nₚ=10, nᵢ=4, nₒ=2)

الأثر	الحساب	df
p	(10−1)	9
i	(4−1)	3
o	(2−1)	1
pi	(10−1)(4−1)	27
po	(10−1)(2−1)	9
io	(4−1)(2−1)	3
pio	(10−1)(4−1)(2−1)	27
الإجمالي		79 = 10×4×2−1

تصميم p × (r:t) (nₚ=10, nₜ=3, nᵣ=4)

الأثر	الحساب	df
p	(10−1)	9
t	(3−1)	2
r:t	(4−1) × 3	9
pt	(10−1)(3−1)	18
pr:t	(10−1)(4−1) × 3	81
الإجمالي		119 = 10×3×4−1

✅

تحقق دائماً: مجموع df = n الكلي − 1

مثال 1 — §3.3.3

تصميم p × i × o — بياناته وحساباته

10 أشخاص × 4 فقرات × 2 مناسبتين — نُطبِّق الخطوات الخمس بالكامل

📊

ملخص البيانات الاصطناعية رقم 3 (متوسطات العينات)

الشخص	X̄_i1	X̄_i2	X̄_i3	X̄_i4	X̄_o1	X̄_o2	X̄_p
p1	2.0	5.5	6.0	5.0	5.00	4.25	4.625
p2	5.0	6.0	5.5	7.0	5.50	6.25	5.875
p3	5.0	4.5	4.5	5.5	5.00	4.75	4.875
p4	5.0	8.0	7.5	6.0	7.00	6.25	6.625
p5	4.0	4.0	5.5	5.0	4.50	4.75	4.625
p6	5.0	4.0	5.5	7.5	4.75	6.25	5.500
p7	2.0	6.5	6.5	5.0	4.75	5.25	5.000
p8	4.5	5.0	5.0	4.5	4.00	5.50	4.750
p9	2.5	5.0	4.5	4.0	3.50	4.50	4.000
p10	6.0	8.0	7.5	6.0	6.75	7.00	6.875
X̄_i	4.10	5.65	5.80	5.55	5.075	5.475	X̄=5.275

⚙️ الحسابات خطوةً بخطوة — التصميم p × i × o

nₚ=10 · nᵢ=4 · nₒ=2

X̄ = 5.275

الخطوة 1 — T(μ) من المعادلة 3.17

T(μ) = nₚ × nᵢ × nₒ × X̄² = 10 × 4 × 2 × (5.275)² = 2226.05

الخطوة 2 — T(i) — π(α̇)=nₚ×nₒ=20

T(i) = 20 × [(4.10)² + (5.65)² + (5.80)² + (5.55)²] = 20 × 113.175 = 2263.50

الخطوة 3 — SS(i) = T(i) − T(μ)

SS(i) = 2263.50 − 2226.05 = 37.45

النتيجة — df(i)=(nᵢ−1)=3

MS(i) = 37.45 / 3 = 12.4833

✅

الجدول 3.3 — ANOVA الكامل لتصميم p × i × o

الأثر	df	π(α̇)	T(α)	SS(α)	MS(α)	σ̂²(α)
p	9	8	2288.25	62.20	6.9111	.5528
i	3	20	2263.50	37.45	12.4833	.4417
o	1	40	2229.25	3.20	3.2000	.0074
pi	27	2	2382.00	56.30	2.0852	.5750
po	9	4	2303.50	12.05	1.3389	.1009
io	3	10	2274.20	7.50	2.5000	.1565
pio	27	1	2430.00	25.25	.9352	.9352
T(μ)	—		2226.05
الإجمالي	79			203.95

📊 مقارنة مكوّنات التباين المُقدَّرة

σ̂²(p)

.5528

σ̂²(i)

.4417

σ̂²(o)

.0074

σ̂²(pi)

.5750

σ̂²(po)

.1009

σ̂²(io)

.1565

σ̂²(pio)

.9352

🔍

ماذا تقول هذه الأرقام؟

σ̂²(pio)=.9352 هو الأكبر — التفاعل الثلاثي الاتجاه (شخص×فقرة×مناسبة) هو المصدر الرئيسي للتباين. σ̂²(o)=.0074 ضئيل جداً — المناسبات بالكاد تؤثر على الدرجات!

مثال 2 — التصميم المتداخل

تصميم p × (r:t) — المقيمون متداخلون في المهام

10 أشخاص × 3 مهام × 4 مقيمين لكل مهمة — كل مجموعة مقيمين مختلفة لكل مهمة

⚙️ حساب T(pt) وSS(pt) — تفاعل الأشخاص × المهام

المعطيات: nₚ=10، nₜ=3، nᵣ=4، X̄=4.75

T(μ) = 10×4×3×(4.75)² = 2707.50
T(p) = 4×3×Σ X̄²_p = 12×[4.75²+5.75²+...+4.00²] = 2800.17
T(t) = 10×4×Σ X̄²_t = 40×[5.50²+4.80²+3.95²] = 2755.70

T(pt) — π(α̇)=nᵣ=4

T(pt) = 4 × ΣₚΣₜ X̄²_pt = 4×[(5.25)²+(4.25)²+...+(3.50)²] = 2931.50

SS(pt) بالخوارزمية — م=2 أوليان (p,t)، س=0

SS(pt) = T(pt) − T(p) − T(t) + T(μ)
= 2931.50 − 2800.17 − 2755.70 + 2707.50 = 83.13

df(pt) = (10−1)(3−1) = 18

MS(pt) = 83.13 / 18 = 4.6185

🆚 مقارنة حسابات التصميم المتداخل p × (r:t)

SS(r:t)

=

T(r:t) − T(t)

أولي واحد (r)، تداخل واحد (t)

SS(pr:t)

=

T(pr:t) − T(pt) − T(r:t) + T(t)

أوليان (p,r)، تداخل (t)

✅

الجدول 3.4 — ANOVA الكامل لتصميم p × (r:t)

الأثر	df	π(α̇)	T(α)	SS(α)	MS(α)	σ̂²(α)
p	9	12	2800.17	92.67	10.30	.4731
t	2	40	2755.70	48.20	24.10	.3252
r:t	9	10	2835.40	79.70	8.86	.6475
pt	18	4	2931.50	83.13	4.62	.5596
pr:t	81	1	3204.00	192.80	2.38	2.380
T(μ)	—		2707.50
الإجمالي	119			496.50

⚠️

σ̂²(pr:t) = 2.380 — الأكبر بفارق كبير!

هذا يعني أن التفاعل بين الأشخاص والمقيمين (داخل كل مهمة) هو المصدر الأكبر للخطأ. اختلاف المقيمين في تقييم الأشخاص — وليس اختلاف الأشخاص أو المهام — هو التحدي الرئيسي لهذا التصميم.

تفاعلي

احسب T(α) بنفسك

اكتشف كيف يتغير T(α) مع تغيُّر أحجام العينات — ثم اشتق SS(α) منه

اختر التصميم:

nₚ

nᵢ

nₒ

          // اضغط على أي حقل لتحديث الحسابات
        

درجات الحرية:

nₚ

nₜ

nᵣ

          // اضغط على أي حقل لتحديث الحسابات
        

درجات الحرية:

📋 خمسة مبادئ جوهرية من §3.3

X̄_α = نظير μ_α المرصود

متوسط X على كل ما ليس في α — بنفس المنطق الذي نعرف به μ_α

T(α) = π(α̇) × Σ X̄²_α

كمية وسيطة أسهل في الحساب من SS مباشرةً

SS(α) = خوارزمية § 3.2.3 على T

نفس الخوارزمية — فقط نستبدل ν بـ SS و μ_α بـ T(α) و μ بـ T(μ)

df: (n−1) للأولي · n للتداخل

قاعدتان بسيطتان — حاصل الضرب مع الفرق الجوهري بين أولي ومؤشر تداخل

تحقق: Σdf = N الكلي − 1

مجموع درجات الحرية لجميع الآثار + μ = nₚ×nᵢ×nₕ×... في أي تصميم متوازن

من الدرجات الخامإلى مكوّنات التباين