Xω = μ + Σνα
ν_pi:h = X_pih − μ_ph − μ_ih + μ_h
E(ν_α) = 0
σ²(i:h) = σ²(i) + σ²(ih)
[ § 3.2 · النماذج الخطية ]

تأثيرات الدرجات
ومتوسطات الكون والمجتمع

كيف نُعبِّر رياضياً عن أي تأثير في تصميم متعدد الأوجه؟ وكيف نربطه بمتوسطات الدرجات؟ وما الخوارزمية التي تُحوِّله خطوةً بخطوة؟

3.2.1
النظام الرمزي
3.2.2
النماذج الخطية
3.2.3
خوارزمية التحويل
⊕
الاختلاط
الدافع والهدف

ما الذي يُضيفه القسم 3.2؟

النماذج الخطية ليست مجرد معادلات جمالية — إنها الأداة الوحيدة التي تربط الملاحظ بالكون الحقيقي

🗂️
§3.2.1 النظام الرمزي

كيف نُسمِّي كل تأثير في أي تصميم بطريقة موحدة ودقيقة — آثار رئيسية وآثار تفاعل

🧮
§3.2.2 النماذج الخطية

الصيغة العامة X_ω = μ + Σν_α — وكيف تُعرَّف متوسطات الكون والمجتمع في ضوئها

⚙️
§3.2.3 الخوارزمية

خطوات تحويل أي تأثير درجة إلى مجموع خطي من متوسطات الدرجات — قابلة للتطبيق على أي تصميم

🔑 الفكرة المحورية

في الفصل الثاني رأينا أن الدرجة تتفكك: Xpi = μ + νp + νi + νpi

الآن مع تصاميم ثنائية الوجه — كيف نُعمِّم هذه الصيغة؟ وكيف نُعرِّف كل تأثير بدقة؟

// التعميم لتصميم p × i × h
X_pih = μ + ν_p + ν_i + ν_h
     + ν_pi + ν_ph + ν_ih + ν_pih
§ 3.2.1

النظام الرمزي للتأثيرات

قبل أن نكتب أي معادلة — يجب أن نتفق على لغة مشتركة لتسمية كل تأثير في أي تصميم

🔵 بنية الأثر الرئيسي Main Effect
المؤشر الأولي
Primary Index
:
مؤشر التداخل الأول
1st Nesting Index
:
مؤشر التداخل الثاني
2nd Nesting Index (if any)
p
بلا تداخل
المؤشر الأولي فقط — p ليس متداخلاً داخل أي وجه آخر
i:h
تداخل مستوى واحد
i هو المؤشر الأولي، h هو مؤشر التداخل — فقرات داخل فئات
i:h:p
تداخل مستويين
i في h، وh في p — تداخل متسلسل من مستويين
💡
مهم: مؤشر التداخل غالباً هو نفسه أثر رئيسي مستقل!
في تصميم p × (i:h): الرمز h في i:h هو مؤشر تداخل، لكنه أيضاً أثر رئيسي مستقل h. أي أن h يؤدي دورَين في آنٍ واحد.
🟣 بنية أثر التفاعل Interaction Effect
{مجموعة من المؤشرات الأولية} : {مجموعة من مؤشرات التداخل الأولى} : ...
📌 قواعد بناء التفاعل
قاعدة ١: لا يظهر أي مؤشر مؤشراً أولياً ومؤشر تداخل في آنٍ واحد
قاعدة ٢: إذا تكرر مؤشر تداخل، يُحتفظ بآخر ظهور فقط (مثل pp → p)
قاعدة ٣: يُحذف أي تركيب ينتهك القاعدتين السابقتين
📐 تطبيق: تصميم p × (i:h)
الآثار الرئيسية: p · h · i:h
نُركِّب p مع h: → ph ✓ (تفاعل صالح)
نُركِّب p مع i:h: → pi:h ✓ (المؤشر الأولي p، مؤشر التداخل h)
مُهمَل:
h + i:h → ph:h
لأن h يظهر أولياً وتداخلاً في آنٍ واحد ✗
استخراج التفاعلات

كيف نستخرج جميع آثار التفاعل؟

جرِّب كل التركيبات الممكنة بين الآثار الرئيسية — واحذف غير الصالحة

اختر التصميم لترى كيف تُستخرج جميع آثاره:
الآثار الرئيسية (3):
p i h
استخراج التفاعلات:
p+i→pi✓
p+h→ph✓
i+h→ih✓
p+i+h→pih✓ + error
X_pih = μ + ν_p + ν_i + ν_h
+ ν_pi + ν_ph + ν_ih + ν_pih
📊
7 آثار في p×i×h — أعلى عدد ممكن. مخطط فن: 3 دوائر متقاطعة بالكامل = 7 مناطق.
الآثار الرئيسية (3):
p h i:h
استخراج التفاعلات:
p+h→ph✓
p+i:h→pi:h✓ + error
h+i:h→ ph:h✗ h أولي وتداخل!
X_pih = μ + ν_p + ν_h + ν_i:h
+ ν_ph + ν_pi:h
📊
5 آثار فقط في p×(i:h). التداخل ألغى إمكانية تفاعل h مع i:h.
الآثار الرئيسية (3):
p h i:p
p+h→ph✓
p+i:p→ pi:p✗ p أولي وتداخل!
h+i:p→ih:p✓ + error
X_pih = μ + ν_p + ν_h + ν_i:p
+ ν_ph + ν_ih:p
📊
5 آثار كما في p×(i:h) — لكن مع آثار مختلفة. التداخل داخل p أسقط تفاعل p مع i:p.
الآثار الرئيسية (3):
p h i:ph
p+h→ph✓
p+i:ph→ pi:ph✗ p أولي وتداخل!
h+i:ph→ ih:ph✗ h أولي وتداخل!
X_pih = μ + ν_p + ν_h + ν_ph
+ ν_i:ph
📊
4 آثار فقط — التداخل داخل p×h أسقط كل التفاعلات المتعلقة بـ i. أقل معلومات تشخيصية.
مفهوم حيوي

الاختلاط — ماذا يحدث عند التداخل؟

عندما يكون الكون متقاطعاً (i × h) لكن تصميم G يستخدم التداخل (i:h)، تُدمَج بعض مكوّنات التباين بلا رجعة

🔑 قاعدة الاختلاط — القاعدة الذهبية
التأثيرات المختلطة هي جميع التأثيرات التي:
① لا تتضمن إلا المؤشرات الداخلة في التأثير المتداخل
② تشمل المؤشر (أو المؤشرات) الأولية في ذلك التأثير
📌 عدد التأثيرات المختلطة = 2 ^ (عدد مؤشرات التداخل)
i:h
مؤشر تداخل واحد (h) → 2¹ = 2 تأثيرات
i:h ⟹
i
+
ih
σ²(i:h) = σ²(i) + σ²(ih)
pi:h
مؤشر تداخل واحد (h) → 2¹ = 2 تأثيرات
pi:h ⟹
pi
+
pih
σ²(pi:h) = σ²(pi) + σ²(pih)
i:h:p
مؤشران تداخل (h,p) → 2² = 4 تأثيرات
i:h:p ⟹ i, ih, ip, ihp
σ²(i:h:p) = σ²(i)+σ²(ih)+σ²(ip)+σ²(ihp)
⚠️
تحذير مهم: الاختلاط مشروط بكون الملاحظات!
إذا كان الكون نفسه متداخلاً (i:h)، فلا معنى لتمثيل i:h بـ (i, ih) لأن i وih غير قابلَين للتمييز أصلاً داخل الكون. الاختلاط مفهوم يُطبَّق فقط عندما يكون الكون متقاطعاً لكن التصميم متداخل.
§ 3.2.2

النموذج الخطي العام

معادلة واحدة تصف أي تصميم كان — الصيغة 3.1

المعادلة العامة 3.1:
Xω = μ + Σ να
ω = جميع مؤشرات التصميم (مثلاً: pih)
μ = المتوسط العام في المجتمع والكون
α = أي مكوّن في التصميم (مع أي تداخل)
ν_α = تأثير الدرجة لذلك المكوّن
الافتراضات الأساسية
✓ N → ∞ لجميع الأوجه
✓ السحب عشوائي مستقل
✓ E(ν_α) = 0 لأي مكوّن
✓ جميع التأثيرات غير مترابطة
⚠️ لا افتراض توزيع طبيعي!
💡
القيمة المتوقعة لأي تأثير = 0. هذا ليس افتراضاً ثانوياً — إنه نتيجة مباشرة من طريقة تعريف متوسطات الدرجات وتأثيراتها.
متوسطات الدرجات — كيف نُعرِّفها؟ (المعادلة 3.3)
μ_α ≡ E_{α̇} X_ω
حيث α̇ = جميع المؤشرات في ω باستثناء مؤشرات α. أي: نأخذ التوقع على كل شيء ما عدا α.
متوسط الدرجةالتعريفالمعنى
المتوسط العام μ E_p E_i E_h X_pih توقع على الجميع
μ_h E_p E_i X_pih توقع على p و i (ليس h)
μ_ih E_p X_pih توقع على p فقط
μ_p E_i E_h X_pih توقع على i و h (ليس p)
μ_ph E_i X_pih توقع على i فقط
μ_pih = X_pih لا توقع! — الملاحظة نفسها
§ 3.2.3

الخوارزمية — تحويل تأثير الدرجة إلى متوسطات

خوارزمية خطوة بخطوة تُحوِّل أي تأثير ν_α إلى مجموع ومطروح من متوسطات الدرجات — تنطبق على أي تصميم

📋 المدخلات المطلوبة
المكوّن α يتضمن:
  m = عدد المؤشرات الأولية
  s = عدد مؤشرات التداخل
0

الخطوة 0 — نبدأ بـ μ_α

ابدأ بمتوسط الدرجة للمكوّن كاملاً (مؤشراته الأولية ومؤشرات تداخله معاً).

+ μ_{(s مؤشرات التداخل) + (m مؤشرات أولية)}
1

الخطوة 1 — اطرح المكوّنات التي تحتوي (m−1) مؤشراً أولياً

اطرح جميع متوسطات الدرجات التي تحتوي على مؤشرات التداخل s ولكن (m−1) فقط من المؤشرات الأولية.

− μ_{(s تداخل) + (m-1 أولي)}
2

الخطوة 2 — أضف المكوّنات التي تحتوي (m−2) مؤشراً أولياً

أضف جميع متوسطات الدرجات التي تحتوي على مؤشرات التداخل s ولكن (m−2) فقط من المؤشرات الأولية.

+ μ_{(s تداخل) + (m-2 أولي)}
j

الخطوة j — بالتناوب (طرح إذا j فردي، إضافة إذا j زوجي)

نُكمل حتى نصل للمكوّن الذي يحتوي فقط على مؤشرات التداخل s (بلا مؤشرات أولية).

توقف عند الخطوة m — آخر خطوة تضم 0 مؤشرات أولية
✓

النهاية — إذا لم يكن هناك مؤشرات تداخل

في آخر خطوة، إذا لم يكن هناك مؤشرات تداخل (s=0)، أضف μ أو اطرحها حسب الخطوة.

💡
لماذا هذا النمط (إضافة ثم طرح ثم إضافة...)؟
هذا مبدأ الشمول والإقصاء Inclusion-Exclusion في الاحتمالات — لضمان أن القيمة المتوقعة للتأثير تساوي صفراً (المعادلة 3.4).
مثال محلول بالتفصيل

تطبيق الخوارزمية على νpi:h

تصميم p × (i:h) · المكوّن pi:h يحتوي مؤشرَين أوليَّين (p, i) ومؤشر تداخل واحد (h)

نطبق الخوارزمية على: νpi:h
المؤشرات الأولية
p , i → m = 2
مؤشرات التداخل
h → s = 1
عدد الخطوات
m = 2 خطوتان
الخطوة 0 — نبدأ بـ μ_pih (= X_pih)
ν_pi:h = X_pih + ...
s=1 مؤشر تداخل (h) + m=2 مؤشران أوليان (p,i) → μ_pih = X_pih لأنها ملاحظة واحدة
الخطوة 1 (j فردي → نطرح) — s=1 تداخل + (m-1)=1 أولي
= X_pih − μ_ph − μ_ih + ...
المكوّنات التي تحتوي على h (تداخل) وواحد من {p أو i} (أولي):
→ μ_ph (h + p) و μ_ih (h + i) → نطرحهما معاً
الخطوة 2 (j زوجي → نضيف) — s=1 تداخل + (m-2)=0 أولي
= X_pih − μ_ph − μ_ih + μ_h
المكوّن الذي يحتوي على h فقط (تداخل، بلا أولي): → μ_h → نضيفه
(هذه آخر خطوة لأننا وصلنا لـ m=2 خطوات)
النتيجة النهائية
ν_pi:h = X_pih − μ_ph − μ_ih + μ_h
✅ التحقق — هل E(ν_pi:h) = 0؟
E_p(ν_pi:h) = E_p(X_pih) − μ_ph − μ_ih + μ_h
            = μ_ih − μ_ph − μ_ih + μ_h
            = μ_h − μ_ph ← ليس صفراً دائماً
E_p E_i(ν_pi:h) = μ_h − μ_h = 0 ✓
🎯
ν_pi:h — الطبيعة "المتبقية" الواضحة
ν_pi:h = X_pih − μ_ph − μ_ih + μ_h يعني: الدرجة الفعلية ناقص متوسط الشخص في فئة h ناقص متوسط الفقرة في فئة h ثم إضافة متوسط الفئة h. كل ما يتبقى بعد حذف تأثير الشخص والفقرة والفئة هو التأثير المتبقي ν_pi:h.
مثال آخر: ν_p في تصميم p × i × h
m=1 (أولي: p)، s=0 (بلا تداخل)
الخطوة 0: μ_p
الخطوة 1 (m=1): − μ
ν_p = μ_p − μ
مثال: ν_ih في تصميم p × i × h
m=2 (أوليان: i,h)، s=0 (بلا تداخل)
الخطوة 0: μ_ih
الخطوة 1 (−): − μ_i − μ_h
الخطوة 2 (+): + μ
ν_ih = μ_ih − μ_i − μ_h + μ
مرجع شامل

مكتبة التصاميم — النماذج الخطية الكاملة

جميع النماذج الخطية للتصاميم الستة الأساسية ثنائية الوجه في مكان واحد — مع جميع تأثيرات الدرجات

التصميم عدد الآثار النموذج الخطي ملاحظة
p × i × h 7 X = μ + ν_p + ν_i + ν_h + ν_pi + ν_ph + ν_ih + ν_pih الأكثر شمولاً
p × (i:h) 5 X = μ + ν_p + ν_h + ν_i:h + ν_ph + ν_pi:h i:h يختلط i+ih
(i:p) × h 5 X = μ + ν_p + ν_h + ν_i:p + ν_ph + ν_ih:p i:p يختلط i+pi
i:(p × h) 4 X = μ + ν_p + ν_h + ν_ph + ν_i:ph i:ph يختلط i+pi+ih+pih
(i×h):p 4 X = μ + ν_p + ν_i:p + ν_h:p + ν_ih:p كل i,h متداخل في p
i:h:p 3 X = μ + ν_p + ν_h:p + ν_i:h:p الأكثر تداخلاً
🔑 القاعدة الأساسية — بناء النموذج
① حدِّد الآثار الرئيسية (كل وجه → أثر رئيسي)
② استخرج الآثار التفاعلية بتركيب الرئيسية (احذف الخاطئة)
③ اكتب النموذج: X = μ + مجموع جميع الآثار
④ تحقق: عدد الآثار = عدد مناطق مخطط فن
⚙️ الخوارزمية — تأثير إلى متوسطات
① حدِّد m (أولية) وs (تداخل)
② ابدأ بـ +μ_α
③ اطرح كل متوسط بـ(m-1) أولي
④ أضف كل متوسط بـ(m-2) أولي
⑤ واصل بالتناوب حتى الخطوة m
🎯 ست مبادئ من §3.2

النموذج العام: X_ω = μ + Σν_α

يصف أي تصميم — أحادي أو ثنائي أو أكثر الأوجه

E(ν_α) = 0 دائماً

ليس افتراضاً بل نتيجة حتمية من تعريف متوسطات الدرجات

التأثيرات غير مترابطة

E(ν_α ν_β) = 0 لأي تأثيرين مختلفين — بدون افتراض الاستقلال التام

الاختلاط: σ²(i:h) = σ²(i)+σ²(ih)

2^s تأثيرات مختلطة في أي تأثير متداخل ذي s مؤشرات تداخل

μ_α — التوقع على ما سوى α

متوسط الدرجة لمكوّن = التوقع على جميع المؤشرات ما عدا مؤشرات ذلك المكوّن

الخوارزمية عامة وشاملة

تنطبق على أي مكوّن في أي تصميم — أحادي أو ثنائي أو أكثر

🏠 الرئيسية ← السابق التالي →