Simplified Procedures for Mixed Models · Brennan (2001)
عندما يكون بعض الأوجه ثابتاً وبعضها عشوائياً — ثلاث قواعد تُعيد تعريف τ وΔ وδ في كون التعميم المقيَّد، مع رسوم تفاعلية تُظهر الفرق فوراً
كثيراً ما يرغب الباحث في تقييد كون التعميم — أي اعتبار بعض الأوجه ثابتة لا عشوائية. هذا يُغير الخطأ والمعاملات بطرق منضبطة.
حتى هذه النقطة كان يُفترض أن جميع الأوجه في كلٍّ من كون الملاحظات المقبولة وكون التعميم لا نهائية الحجم. غير أن الباحث كثيراً ما يرغب في النظر في كون تعميم مقيَّد، أي كون يشتمل فقط على جزء فرعي من الشروط الموجودة في كون الملاحظات المقبولة.
الوجه الثابت ليس مجرد اختيار عملي — بل تعريف رياضي دقيق يشترط تطابق عينة D مع كون التعميم.
في نظرية إمكانية التعميم يُفترض دائماً أن التعميم مقصود — بالنسبة إلى وجه واحد على الأقل — إلى كون أوسع من ذلك الممثَّل فعلاً في دراسة D. لو ثُبِّتت جميع الأوجه لَمَا وُجد خطأ قياس أصلاً، بحكم التعريف.
الوجه ثابت عندما n′ = N′ < ∞. علاوة على ذلك، بما أن شروط دراسة D يجب أن تكون محتواة في كون التعميم، فإن شروط الوجه الثابت في D هي الشروط نفسها الموجودة في كون التعميم — لا مجرد العدد نفسه.
في النماذج المختلطة نفس مكوّنات σ²(ᾱ) التي نوقشت في 4.1، لكن مجموعة الأوجه التي يدخل إليها كل مكوّن تتغير.
| المقدار | النموذج العشوائي (4.1) | النموذج المختلط (4.3) |
|---|---|---|
| σ²(τ) | σ²(p) فقط — ᾱ = p | σ²(p) + أي σ²(ᾱ) تتضمن p ولا تتضمن ℛ (مثل σ²(pH) عند H ثابت) |
| σ²(Δ) | جميع σ²(ᾱ) ما عدا σ²(p) | فقط σ²(ᾱ) التي تتضمن مؤشراً من ℛ (لا تشمل ما يخص الأوجه الثابتة فقط) |
| σ²(δ) | جميع σ²(ᾱ) تتضمن p ومؤشراً آخر | فقط σ²(ᾱ) تتضمن p ومؤشراً من ℛ (تأثيرات التفاعل مع الأوجه العشوائية) |
في تصميم p×(I:H) عندما يكون H ثابتاً: σ²(p|H) = σ²(p) + σ²(ph)/nₕ — هذا بالضبط ما تعطيه القاعدة 4.3.1. المعادلة الأولى (النموذج العشوائي) تصبح: EMS(p) = σ²(pi:h) + nᵢnₕσ²(p). أما في النموذج المختلط: EMS(p) = σ²(pi:h|H) + nᵢnₕσ²(p|H). وبما أن σ²(pi:h|H) = σ²(pi:h)، فإن σ²(p|H) = σ²(p) + σ²(ph)/nₕ = σ²(τ) في المختلط.
عندما يُثبَّت H، تنتقل σ²(pH) من دائرة δ إلى دائرة τ — مما يرفع تباين الكون ويخفض الخطأ النسبي.
يتضح من الجدولين 4.1 و4.2 ومن الشكلَين 4.4 و4.5 أن تباين درجة الكون في كلٍّ من التصميمَين عندما يكون H ثابتاً هو:
يبقى ثابتاً: التباين الملحوظ المتوقع ES²(p) = σ²(p)+σ²(δ) لا يتأثر بتثبيت H أو تحريره.
ما يتغير: الطريقة التي يُحلَّل بها ES²(p) — عند تثبيت H تسهم σ²(pH) في σ²(τ) بدلاً من σ²(δ). بالتالي: σ²(τ) يرتفع + σ²(δ) ينخفض = Eρ² يرتفع.
التصاميم المتداخلة مع تثبيت H تُنتج أصغر تباينات خطأ — لكن مع كون تعميم أضيق نطاقاً.
بصورة عامة: تباين درجة الكون لا يتأثر ببنية تصميم D، أما تباينات الخطأ فإنها تتأثر.
والقاعدة الجامعة: التصاميم المتداخلة تؤدي — مع ثبات سائر الأمور — إلى تباينات خطأ أصغر من التصاميم المتقاطعة. وينطبق هذا الحكم على النماذج العشوائية والمختلطة على حدٍّ سواء.
الإجراءات المبسطة فعّالة وعملية، لكن تطبيقها الصحيح يستلزم دقة في الشروط.
تستخدم الإجراءات مكوّنات التأثيرات العشوائية σ²(ᾱ)، لا مكوّنات النموذج المختلط الفعلي. وهذا قيد منهجي يُعالَج بإجراءات القسم 5.1 الأكثر دقةً وتعقيداً.
عند استخدام التقديرات العملية، يلزم أن تتضمن دراستا G وD الشروط نفسها للأوجه الثابتة — لا مجرد العدد نفسه. وإن اختلفت الشروط، فإن التقديرات تكون تقريبية لا دقيقة.
في ظل شرط تطابق الشروط: الإجراءات المبسطة (4.3) والإجراءات الدقيقة (5.1) تعطيان المقدِّرات غير المتحيزة نفسها لتباين درجة الكون وتباينات الخطأ والمعاملات. أي أن الإجراءات المبسطة مثلى في هذه الحالة وتكفي تماماً.
يناقش القسم 4.5 طريقة أكثر أناقة لتصوُّر كون تعميم مقيَّد — وهي ترتكز على المفاهيم نفسها لكن بصياغة أكثر اتساقاً مع الإطار العام للنظرية.
أدخل مكوّنات G وأحجام عينات D واختر أي الأوجه ثابت — تحصل على المقارنة الكاملة فوراً للتصميمَين.