عندما يختلف كل شخص في الفقرات التي يُجيب عليها — كيف تتغير المعادلات والمعاملات والاستنتاجات؟
الفرق الجوهري: هل يُجيب جميع الأشخاص على نفس الفقرات؟
كل شخص يُجيب على نفس مجموعة الفقرات. الفقرات مشتركة بين جميع الأشخاص.
كل الخلايا ممتلئة — نفس الفقرات للجميع
كل شخص يُجيب على مجموعة فقرات مختلفة. الفقرات فريدة لكل شخص.
لكل شخص فقراته الخاصة — لا تقاطع
الاختلاط هو صميم التصميم المتداخل — وفهمه يُبيِّن كل شيء
في تصميم p×i، يُجيب كل شخص على نفس الفقرات. لذا يمكن مقارنة استجابات أشخاص مختلفين على نفس الفقرة → نُقدِّر تأثير الفقرة ν_i مستقلاً.
في تصميم i:p، كل شخص له فقراته الخاصة. لا توجد فقرة مشتركة بين شخصين → لا يمكن مقارنة أداء شخصين على نفس الفقرة → ν_i لا تُقدَّر بشكل مستقل عن ν_pi.
النموذج يحتوي على مكوّنَين فقط بدلاً من ثلاثة في التصميم المتقاطع
مقارنة جدول ANOVA للتصميمين: المتقاطع (3 مصادر) مقابل المتداخل (مصدران)
| المصدر | df | MS | σ̂² |
|---|---|---|---|
| p | nₚ−1 | MS(p) | [MS(p)−MS(pi)]/nᵢ |
| i | nᵢ−1 | MS(i) | [MS(i)−MS(pi)]/nₚ |
| pi | (nₚ−1)(nᵢ−1) | MS(pi) | MS(pi) |
| المصدر | df | MS | σ̂² |
|---|---|---|---|
| p | nₚ−1 | MS(p) | [MS(p)−MS(i:p)]/nᵢ |
| i:p | nₚ(nᵢ−1) | MS(i:p) | MS(i:p) |
في مخططات فن لتصميم i:p، تُدرج دائرة الفقرات داخل دائرة الأشخاص — لتعكس أن الفقرات متعشِّشة داخل الأشخاص.
الفارق الجذري بين المتقاطع والمتداخل — الخطآن المطلق والنسبي يصبحان واحداً
في تصميم I:p، الخطأ المطلق والخطأ النسبي غير قابلَين للتمييز — وبالتالي σ²(Δ) = σ²(δ) وEρ² = Φ
كما في التصميم المتقاطع، زيادة nᵢ′ تُقلِّص تباين الخطأ.
لأن σ²(δ) = σ²(Δ) → Eρ² = Φ تلقائياً.
هذا يطابق ما يحدث في النظرية التقليدية (الصور المتوازية التقليدية)!
10 أشخاص × 8 فقرات لكل شخص (مجموعات مختلفة) — درجات من 0 إلى 9
| الشخص | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | المجموع | X̄ₚ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p₁ | 2 | 6 | 7 | 5 | 2 | 5 | 5 | 5 | 37 | 4.625 |
| p₂ | 4 | 5 | 6 | 7 | 6 | 7 | 5 | 7 | 47 | 5.875 |
| p₃ | 5 | 5 | 4 | 6 | 5 | 4 | 5 | 5 | 39 | 4.875 |
| p₄ | 5 | 9 | 8 | 6 | 5 | 7 | 7 | 6 | 53 | 6.625 |
| p₅ | 4 | 3 | 5 | 6 | 4 | 5 | 6 | 4 | 37 | 4.625 |
| p₆ | 4 | 4 | 4 | 7 | 6 | 4 | 7 | 8 | 44 | 5.500 |
| p₇ | 2 | 6 | 6 | 5 | 2 | 7 | 7 | 5 | 40 | 5.000 |
| p₈ | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 | 6 | 4 | 38 | 4.750 |
| p₉ | 0 | 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 32 | 4.000 |
| p₁₀ | 6 | 8 | 7 | 6 | 6 | 8 | 8 | 6 | 55 | 6.875 |
| ملاحظة | الأعداد 1،2،...،8 تمثل فقرات مختلفة لكل شخص في تصميم i:p | X̄=5.275 | ||||||||
| التأثير | df | SS | MS | σ̂² | نᵢ′=4 | nᵢ′=8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p | 9 | 62.20 | 6.9111 | 0.6108 | 0.6108 | 0.6108 |
| i:p | 70 | 141.75 | 2.0250 | 2.0250 | σ²(I:p)=0.5063 | σ²(I:p)=0.2531 |
| σ²(δ) = σ²(Δ) | 0.5063 | 0.2531 | ||||
| Eρ̂² = Φ̂ | 0.547 | 0.707 | ||||
القسم 2.4.2 يكشف ميزة استراتيجية مهمة جداً للتصميم المتداخل في سياقات بعينها
في التصميم المتقاطع: σ²(X̄) يحتوي على σ²(i)/nᵢ′ — حد لا يختفي مع زيادة nₚ′.
في التصميم المتداخل: σ²(X̄) يحتوي على σ²(i)/(nₚ′nᵢ′) — يتقلص مع زيادة nₚ′ أيضاً!
الاستنتاج: تصميم I:p يُعطي تقديرات أكثر اعتمادية لمتوسطات المجموعات!
| nᵢ′ | σ²(δ) | σ²(Δ) | Eρ² | Φ |
|---|
| nᵢ′ | σ²(δ)=σ²(Δ) | Eρ²=Φ | |
|---|---|---|---|
كل ما تحتاج تذكره من القسم 2.4
لا توجد فقرة مشتركة بين شخصين → الفقرات متعشِّشة داخل الأشخاص → تصميم حقيقي للاختبارات التكيفية وتقويم البرامج.
الاختلاط الكامل بين تأثير الفقرة والتفاعل → σ²(i:p) = σ²(i) + σ²(pi) → لا يمكن فصلهما من بيانات i:p وحدها.
النتيجة الأهم: الخطآن المطلق والنسبي لا يتمايزان في التصميم المتداخل — مطابق لافتراض الصور المتوازية في النظرية التقليدية.
نتيجة مباشرة لتساوي تباينَي الخطأ. لا حاجة للاختيار بين المعاملين — كلاهما واحد.
σ²(X̄) في I:p < σ²(X̄) في p×I → تقييم البرامج والمقارنة بين المدارس يستفيد من التصميم المتداخل.
يمكن استخدام مكوّنات من دراسة G متقاطعة (p×i) لتقدير نتائج دراسة D متداخلة (I:p). σ²(i:p) = σ²(i) + σ²(pi) → كلاهما متاح من G المتقاطعة.