كيف نُفكِّك التباين الكلي في بيانات دراسة G (p × i) إلى مصادره الحقيقية — ثم كيف نُقدِّرها بأسلوب ANOVA؟
كل تأثير في النموذج الخطي Xpi = μ + νp + νi + νpi يُفرز تبايناً خاصاً به
يقيس مدى تفاوت قدرات الأشخاص في المجتمع. كلما كبر هذا المكوّن دلّ على فروق حقيقية أكبر بين الأشخاص.
يُرمز له أيضاً بـ σ²(μp) أو σ²(νp) — لأن تباين متوسطات الأشخاص = تباين آثارهم.
✓ تباين مرغوب — هو ما نريد قياسهيقيس مدى تفاوت صعوبة الفقرات في الكون. تباين كبير يعني أن الفقرات تتفاوت كثيراً في مستوى صعوبتها.
يُرمز له أيضاً بـ σ²(μi) أو σ²(νi). ولاحظ: لا يُرمز للمتبقي بـ σ²(μpi) لأن μpi غير معرَّفة.
⚠️ مصدر خطأ مطلق في القياسيمثل التفاعل الحقيقي بين الشخص والفقرة (بعض الأشخاص أفضل في بعض الفقرات) مضافاً إليه أي خطأ عشوائي آخر.
يُسمى أحياناً σ²(pi,e) للإشارة صراحةً إلى دمجه التفاعل والخطأ معاً — لأنهما غير قابلَين للتمييز.
⚠️ مصدر خطأ مطلق ونسبي معاًمخططات فن (Venn Diagrams) تُقدِّم فهماً بصرياً لعلاقة مكوّنات التباين بمتوسطات المربعات المتوقعة
تباين قدرات الأشخاص — هذا ما يهمنا قياسه. كلما كانت الدائرة أكبر، كانت الفروق بين الأشخاص أوضح.
تباين صعوبة الفقرات. لا يُفيد في المقارنة بين الأشخاص لكنه يؤثر على التفسير المطلق للدرجات.
كل ما لا يُفسَّر بالشخص ولا بالفقرة. يشمل التفاعل الحقيقي والخطأ العشوائي المدمجَين معاً.
نفس المنطق: σ²(i) مضروب في nₚ (عدد الأشخاص) لأن كل فقرة يُجيب عليها nₚ شخص. وσ²(pi) مُضاف دائماً. أما σ²(p) فغائب لنفس السبب.
MS(pi) هو المتوسط الموزون لمربعات الانحرافات في الخلايا الفردية بعد حذف تأثير الأشخاص والفقرات. لذا يُقدِّر مباشرةً σ²(pi) — ولهذا يكون مقدِّر σ²(pi) هو ببساطة MS(pi) نفسه بلا أي تعديل.
الأداة الحسابية التي تربط البيانات الملحوظة بمكوّنات التباين المُراد تقديرها
| التأثير (α) | درجات الحرية df(α) | مجموع المربعات SS(α) | متوسط المربعات MS(α) | تقدير مكوّن التباين σ̂²(α) |
|---|---|---|---|---|
| p — الأشخاص | np − 1 | SS(p) | MS(p) | [MS(p) − MS(pi)] / ni |
| i — الفقرات | ni − 1 | SS(i) | MS(i) | [MS(i) − MS(pi)] / np |
| pi — المتبقي | (np − 1)(ni − 1) | SS(pi) | MS(pi) | MS(pi) |
| 📌 تحقق: SS(p) + SS(i) + SS(pi) = SS الكلي = ΣpΣi(Xpi − X̄)² | ||||
Expected Mean Squares — الجسر الرياضي بين الملحوظ (MS) والمعلمي (σ²)
من المعادلة 2.18: EMS(pi) = σ²(pi). نستبدل المتوقع بالملحوظ:
من المعادلة 2.16: EMS(p) − EMS(pi) = nᵢ·σ²(p). إذاً:
من المعادلة 2.17: EMS(i) − EMS(pi) = nₚ·σ²(i). إذاً:
المعادلات 2.19 و2.20 و2.21 تُعطينا مقدِّرات مكوّنات التباين من البيانات الملحوظة فقط.
10 أشخاص × 12 فقرة (درجات ثنائية 0/1) — تطبيق كامل لحساب مكوّنات التباين
| الشخص | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | X̄p |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X̄i | 1.0 | .9 | .9 | .7 | .7 | .6 | .6 | .4 | .3 | .3 | .2 | .1 | X̄=.558 |
| التأثير | df | SS | MS | σ̂² |
|---|---|---|---|---|
| p — الأشخاص | 9 | 7.3417 | .8157 | .0574 |
| i — الفقرات | 11 | 9.6917 | .8811 | .0754 |
| pi — المتبقي | 99 | 12.5583 | .1269 | .1269 |
أدخل قيم MS ونتائج تصميمك الخاص — واحصل فوراً على تقديرات σ²
في خمس خطوات واضحة يمكنك الانتقال من جدول بيانات خام إلى تقديرات موثوقة لمكوّنات التباين
مكوّنات التباين σ²(p)، σ²(i)، σ²(pi) هي القاعدة الحاسمة لجميع الحسابات اللاحقة في نظرية التعميم — من حساب الخطأ إلى المعاملات.
σ̂²(pi) = MS(pi) مباشرة. σ̂²(p) = [MS(p)−MS(pi)]/nᵢ. σ̂²(i) = [MS(i)−MS(pi)]/nₚ. هذه المعادلات مشتقة من حل معادلات EMS.
مخططات فن لا تُقدِّم بل تُفسِّر — فهي تُظهر أي المكوّنات تدخل في كل EMS، مما يُيسِّر فهم منطق الاشتقاق وتذكُّره.
هذه المكوّنات ستُستخدم لاحقاً في دراسة القرار (D) لحساب تباين الخطأ σ²(Δ)، σ²(δ) ومعاملات التعميم Eρ² وΦ.